IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS: marzo 2013

Deducción de la identidad

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)$

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1): $\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)$
2): $\cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3): $\cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \sin(x) \sin(y)$
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

$\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y) + \cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \sin(x) \sin(y) + \cos(x - y)$

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

$2 \cos(x) \cos(y) = \cos(x + y) + \cos(x - y)$

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

$\sin(x) \sin(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

$\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) - \cos(b) = -2 \sin\left( \frac{a + b}{2} \right) \sin\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\sin(a) - \sin(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sin\left( \frac{a - b}{2} \right)$

Paso de diferencia de cuadrados a producto

$1) \sen^2(x)-\sen^2(y)= \sen(x+y)\sen(x-y)\,$
$2) \cos^2(x)-\sen^2(y)= \cos(x+y)\cos(x-y)\,$

Deducción

1) recordando:que cateto opuesto sobre cateto adyacente

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sen(x)\sen(y)\,$
$\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sen(x)\sen(y)\,$
multiplicando
$\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2(x)\cos^2(y)-\sen^2(x)\sen^2(y)\,$
Sabemos que:
$\sen^2(x)+\cos^2(x)=1\,$
$\sen^2(y)+\cos^2(y)=1\,$
el la primera ecuación transponemos $\cos^2(x)\,$ y en la segunda $\sin^2(y)\,$
De tal manera que obtendremos:
$\sen^2(x)=1-\cos^2(x)\,$
$\cos^2(y)=1-\sen^2(y)\,$
aplicando esto en la ecuación inicial
$\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2(x)(1-\sen^2(y))-\sen^2(x)(1-\cos^2(y))\,$
multiplicando
$1)\sen^2(x)-\sen^2(y)=\sen(x+y)\sen(x-y)\,$
De una manera análoga se halla el segundo teorema.

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

$\sin{\left( x \right)} = \frac{\tan{\left( x \right)}}{ \sqrt{1 + \tan^2{ \left( x \right)}} }$

$\sin{\left( x \right)} = {2} \sin{\left( \frac{1}{2} x \right)} \cos{\left( \frac{1}{2} x \right)} = \frac{ 2 \tan{ \left( \frac{1}{2} x \right)}} { 1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)}}$

$\cos{\left( x \right)} = \frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}$

Funciones trigonométricas inversas

$\arctan(x)+\arccot(x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{si }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right..$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

Composición de funciones trigonométricas


$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$ $\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $\tan(\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\tan(\arccos (x))=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$ $\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ $\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \,$

$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$

$\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\tan(\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\tan(\arccos (x))=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$

$\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \,$

Identidades del ángulo múltiple

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

$\cos(nx)=T_n(\cos(x)).$

Fórmula de De Moivre:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n$

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea $\sin(x+x)=\sin(2x)$ ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando $n = 2$ .

Fórmula del ángulo doble
$\begin{align} \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\,$	$\cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,$
Fórmula del ángulo triple
$\sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta \,$	$\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$	$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$
Fórmula del ángulo medio
$\sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$	$\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$	$\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \end{align}$	$\cot \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$

Producto infinito de Euler

$\cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\sin(\theta)\over \theta}.$

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno	$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$	$\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}$
Coseno	$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$	$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$	$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}$
Otros	$\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$	$\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{\sin^3 2\theta}{8}$