IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

Deducción de la identidad

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \sin(x) \sin(y)$

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:
1): $\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)$
2): $\cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$
Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:
3): $\cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \sin(x) \sin(y)$
Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

$\cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y) + \cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \sin(x) \sin(y) + \cos(x - y)$

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

$2 \cos(x) \cos(y) = \cos(x + y) + \cos(x - y)$

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.
Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

$\sin(x) \sin(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

$\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) - \cos(b) = -2 \sin\left( \frac{a + b}{2} \right) \sin\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\sin(a) - \sin(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \sin\left( \frac{a - b}{2} \right)$

Paso de diferencia de cuadrados a producto

$1) \sen^2(x)-\sen^2(y)= \sen(x+y)\sen(x-y)\,$
$2) \cos^2(x)-\sen^2(y)= \cos(x+y)\cos(x-y)\,$

Deducción

1) recordando:que cateto opuesto sobre cateto adyacente

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sen(x)\sen(y)\,$
$\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sen(x)\sen(y)\,$
multiplicando
$\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2(x)\cos^2(y)-\sen^2(x)\sen^2(y)\,$
Sabemos que:
$\sen^2(x)+\cos^2(x)=1\,$
$\sen^2(y)+\cos^2(y)=1\,$
el la primera ecuación transponemos $\cos^2(x)\,$ y en la segunda $\sin^2(y)\,$
De tal manera que obtendremos:
$\sen^2(x)=1-\cos^2(x)\,$
$\cos^2(y)=1-\sen^2(y)\,$
aplicando esto en la ecuación inicial
$\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2(x)(1-\sen^2(y))-\sen^2(x)(1-\cos^2(y))\,$
multiplicando
$1)\sen^2(x)-\sen^2(y)=\sen(x+y)\sen(x-y)\,$
De una manera análoga se halla el segundo teorema.

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

$\sin{\left( x \right)} = \frac{\tan{\left( x \right)}}{ \sqrt{1 + \tan^2{ \left( x \right)}} }$

$\sin{\left( x \right)} = {2} \sin{\left( \frac{1}{2} x \right)} \cos{\left( \frac{1}{2} x \right)} = \frac{ 2 \tan{ \left( \frac{1}{2} x \right)}} { 1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)}}$

$\cos{\left( x \right)} = \frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}$

Funciones trigonométricas inversas

$\arctan(x)+\arccot(x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{si }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right..$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$

Composición de funciones trigonométricas


$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$ $\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ $\tan(\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\tan(\arccos (x))=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$ $\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ $\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \,$

$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$